■多角数

[1]三角数:n(n+1)/2

[2]四角数:n^2=n(2n−0)/2

[3]五角数:n(3n−1)/2

[4]六角数:n(4n−2)/2

[5]七角数:n(5n−3)/2

[6]八角数:n(6n−4)/2

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 一般に,m角数の第n項は,多角形の辺数mは公差よりも2だけ大きいことから,初項1,公差m−2の等差数列の和:

  1/2・n・{2+(m−2)(n−1)}

で与えられることがわかります.

 1/2・n・{2+(m−2)(n−1)}の形の自然数をm角数といいます.すなわち,三角数△nとはn(n+1)/2,四角数□nとはn^2の形の自然数,すなわち平方数です.また,五角数☆nはn(3n−1)/2で表されます.

 多角数という名前はそれぞれの図形の点の配置に由来するもので,ピタゴラスらが興味をもった図形数ですから,代数的にではなく図形的に考えてみることにしましょう.そうすると,n−1番目の三角数をΔn-1=(n−1)n/2とすると,多角形にΔn-1個の点からなる三角形を追加して作ることができるわけですから

  n+(m−2)Δn-1=1/2・n・{2+(m−2)(n−1)}

とも考えることができるのです.

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多角数がいずれも三角数の組み合わせで表現できるわけではないようです。 →これは誤りである

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