Σａnの絶対値級数Σ｜ａn｜が収束するとき，Σａnは絶対収束するという．また，Σａnは収束するが，Σ｜ａn｜は収束しない級数は，条件収束するという．

定理（１）：絶対収束級数は項の順序をどのように変えても絶対収束し，和も変わらない．（ディリクレ）

定理（２）：条件収束級数は項の順序を適当に変えれば，指定された値（±∞でもよい）を和にもつようにも，振動するようにもできる．（リーマン）

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【１】絶対収束する級数

　　１−１／２＋１／４−１／８＋１／１６−１／３２＋１／６４−・・・＝２／３

　　１＋１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋１／３２＋１／６４＋・・・＝２

　　（１＋１／４−１／２）＋（１／１６＋１／６４−１／８）＋・・・＋（１／２^4n＋１／２^4n+2−１／２^2n+1）＋・・・＝２／３

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【２】条件収束する級数

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＝∞

　負の項が２つの連続する正の項をはさんで現れる級数

　　｛１／１＋１／３−１／２｝＋｛１／５＋１／７−１／４｝＋・・・＝３／２ｌｏｇ２

正の項に引き続いて負の項が２つの連続する級数

　　｛１／１−１／２−１／４｝＋｛１／３−１／６−１／８｝＋・・・＝１／２ｌｏｇ２

（証明）

　　｛１／１−１／２−１／４｝＋｛１／３−１／６−１／８｝＋・・・

　　＝１／２ｌｏｇ２を示す．

　与えられた級数は

　Σ｛１／（２ｎ−１）−１／２（２ｎ−１）−１／（２（２ｎ−１）＋２）｝

＝Σ｛１／（４ｎ−２）−１／４ｎ｝

　一方，１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２より

１／２ｌｏｇ２＝１／２−１／４＋１／６−１／８＋・・・

　　　　　　　＝（１／２−１／４）＋（１／６−１／８）＋・・・

　　　　　　　＝Σ｛１／（４ｎ−２）−１／４ｎ｝

　一般に，

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

の項の順序を，正の項をｍ個，負の項をｎ個ずつ交互に並べ替えてできる級数の和は

　　ｌｏｇ２＋１／２・ｌｏｇｍ／ｎ

となる．

［１］ｍ＝２，ｎ＝１→３／２ｌｏｇ２

［２］ｍ＝１，ｎ＝２→１／２ｌｏｇ２

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【３】条件収束する級数（続き）

　　（１−１）＋（１／２−１／２）＋（１／３−１／３）＋（１／４−１／４）＋・・・＝０ですが，項の順序を並べ替えてできる次の級数の和は？

［Ｑ１］（１＋１／２−１）＋（１／３＋１／４−１／２）＋（１／５＋１／６−１／３）＋・・・

［Ｑ２］（１＋１／２＋１／３−１）＋（１／４＋１／５＋１／６−１／２）＋（１／７＋１／８＋１／９−１／３）＋・・・

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［Ａ１］

　　Σ（１／（２ｋ−１）＋１／２ｋ−１／ｋ）

　＝Σ（１／（２ｋ−１）−１／２ｋ）

　＝１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

［Ａ２］ｌｏｇγ＝ｌｉｍ｛Σ１／ｋ−ｌｏｇｎ｝

　　ｌｉｍ｛（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／３ｋ）−（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／ｋ）｝

　＝ｌｉｍ｛（ｌｏｇ３ｋ＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／ｋ））−（ｌｏｇｋ＋ｌｏｇγ＋ｏ（１／ｋ））｝

　＝ｌｏｇ３

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［雑感］まだ解決の兆しが見えない．

　Σ６／３ｎ（３ｎ−１）

＝６Σ｛１／（３ｎ−１）−１／３ｎ｝

＝６｛（１／２−１／３）＋（１／５−１／６）＋（１／８−１／９）＋・・・｝

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