合同数とは、辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積の値である。

６は（３，４，５）の直角三角形の面積であるから合同数である。

５は（3/2，20/3，41/6）の直角三角形の面積であるから合同数である。

７は（35/12，24/5，337/60）の直角三角形の面積であるから合同数である。

１，２，３，４は合同数でないことが証明されているので、５が整数の中で最小な合同数である。

整数の合同数ｎは、a^2+b^2=c^2,n=ab/2と表せるので、x=n(a+c)/b,y=2n^2(a+c)/b^2とおくと

y^2=x^3-n^2x

が無限個の有理数解をもつことが必要十分条件である。

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【１】タネルの定理（合同数の判定アルゴリズム、1983年）

　Ａ＝１，２，３，４は合同数ではなく，Ａ＝５，６，７は合同数であるが，与えられた正の整数Ａが合同数であるかどうかを判定する手順については，タネルの定理（１９８３）

　「Ａを平方因子をもたない正の奇数とすると，Ａが合同数ならば

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋８ｚ^2＝Ａを満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の組数は，２ｘ^2＋ｙ^2＋３２ｚ^2＝Ａを満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の組数の２倍に等しい．（ＢＳＤ予想が正しいならば逆も成立する．）」

　たとえば，Ａ＝１０１（合同数）の場合，Ａ＝５（ｍｏｄ８）であるが，

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋８ｚ^2＝Ａ→０組

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋３２ｚ^2＝Ａ→０組

非自明解そのものを与えることはできないものの，合同数か否かの判定は可能である．

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　ｆ（Ａ）＝＃｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜２ｘ^2＋ｙ^2＋８ｚ^2＝Ａ｝

　ｇ（Ａ）＝＃｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜２ｘ^2＋ｙ^2＋３２ｚ^2＝Ａ｝

　ｈ（Ａ）＝＃｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜４ｘ^2＋ｙ^2＋８ｚ^2＝Ａ／２｝

　ｋ（Ａ）＝＃｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜４ｘ^2＋ｙ^2＋３２ｚ^2＝Ａ／２｝

　平方因子を含まないＡに対して，タネルの定理が適用できる．＃は（ｘ，ｙ，ｚ）の個数を表す．

Ａが奇数のとき，Ａが合同数であればｆ（Ａ）＝２ｇ（Ａ）

Ａが偶数のとき，Ａが合同数であればｈ（Ａ）＝２ｋ（Ａ）

となるというのがタネルの定理である．

　たとえば，ｈ（２）＝２，ｋ（２）＝２→Ａ＝２は合同数ではない．

　タネルの定理の逆，たとえば，

　　ｆ（５）＝０，ｇ（５）＝０→Ａ＝５は合同数である．

が成り立つためには，ＢＳＤ予想が正しいことを仮定しなければならない．

ＢＳＤ予想が正しければ、合同数はタネルの定理の条件を満たすものに限るのである。

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