（Ｑ）平面上に等間隔で平行線が引かれているとき，この平面上に落とした針が平行線のどれかに交わる確率は？

（Ａ）針の長さをＬ，平行線の間隔をｄとする．

　Ｌ≦ｄのとき，曲線より下の面積／長方形の面積を計算すると

　　ｐ＝∫(0,π)Ｌｓｉｎθｄθ／πｄ＝２Ｌ／πｄ

　これはビュフォンの針の問題（１７７７年）と呼ばれるものであるが，オリジナルの問題は「針の長さは線と線の間隔のちょうど半分」という設定になっている

　　ｐ＝∫(0,π)Ｌｓｉｎθｄθ／πｄ＝２Ｌ／πｄ＝１／π

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針の長さを2，針の中心をOとする。平行線に対して針が30°傾いている場合、

高さ：斜辺:底辺=1:2:√3

この場合、針が線と交わる条件はOと最も近い線までの距離が

＜高さ/2＝1/2=sin30であることである。

平行線に対して針が45°傾いている場合、＜高さ/2＝√2/2=sin45であることである。

平行線に対して針が60°傾いている場合、＜高さ/2＝√3/2=sin60であることである。

これを積分で表したものが

　　ｐ＝∫(0,π)Ｌｓｉｎθｄθ／πｄ＝２Ｌ／πｄ＝１／π

とういうわけである

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針の長さは線の間隔と同じとすると交わる針の数は

n/m=π/2

となります。直線の針(needle)の代わりにまがったうどん(noodle)を使っても、同じ結果が得られますが

うどんの場合、同じ平行線と何度も交わることがあり、その時はすべての交点数で計算します。

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