■無理数度(その5)

2^√2は超越数である。

0,1以外の有理数の無理数乗は無理数である。(ゲルフォント・シュナイダーの定理)

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 √2は無理数である.

 √2=2^1/2であるから,この例は

  aとbがともに有理数であっても,a^bが無理数となる

場合があることを示している.

 それでは

  cとdがともに無理数であっても,c^dが有理数となる

場合はあるだろうか?

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(証)√2^√2を考える.この数は有理数であるか無理数であるかわからないが,有理数であれば答えはyesということになる.

 そこで,無理数であると仮定する.そして,

  c=√2^√2,d=√2

とおき,c^dを計算すると

  c^d=(√2^√2)^√2=(√2)^√2√2=(√2)^2=2

 したがって,

  cとdがともに無理数であっても,c^dが有理数となる

数が存在することになる.

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[結論]無理数の無理数乗は無理数であるは正しくなく、無理数の無理数乗として表される有理数が存在するのである。

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