シュレーフリの公式は，四面体の各面の面積をＡ，二面角のコサインをｃとすると，

　　Ａ1＝ｃ12Ａ2＋ｃ13Ａ3＋ｃ14Ａ4

　　Ａ2＝ｃ21Ａ1＋ｃ23Ａ3＋ｃ24Ａ4

　　Ａ3＝ｃ31Ａ1＋ｃ32Ａ2＋ｃ34Ａ4

　　Ａ4＝ｃ41Ａ1＋ｃ42Ａ2＋ｃ43Ａ3

なのであるが，これがシュレーフリの公式の各行となる．

　|　１,-ｃ12,-ｃ13,-ｃ14｜

　|　-ｃ21,１,-ｃ23,-ｃ24｜＝０・・・ユークリッド単体

　|　-ｃ31,-ｃ32,１,-ｃ34｜

　|　-ｃ41,-ｃ42,-ｃ43,１｜

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この2次元版を考える

　|　１,-ｃ12,-ｃ13｜

　|　-ｃ21,１,-ｃ23｜＝０・・・ユークリッド単体

　|　-ｃ31,-ｃ32,１｜

=|１,-ｃ23|+ｃ12|-ｃ21,-ｃ23|-ｃ13|　-ｃ21, １|

|-ｃ32,１| |-ｃ31, １| |　-ｃ31,-ｃ32|

=1-(cosB)^2+cosA(-cosA-cosBcosC)-cosC(cosAcosB+cosC)

=1-(cosB)^2-(cosA)^2-(cosC)^2-2cosAcosBcosC

cosC=cos(π-A-B)=-cos(A+B)のとき、0になることを確かめる

-(cosC)^2-2cosAcosBcosC=-(cos(A+B))^2+2cosAcosBcos(A+B)

=cos(A+B){-cos(A+B)+2cosAcosB}

=cos(A+B){cos(A-B)}

=1/2{cos2A+cos2B}=1/2{2(cosA)^2-1+2(cosb)^2-1}=-1+(cosB)^2+(cosA)^2

すなわち、A+B+C=π

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