三角錐公式としてはサマーヴィルの公式やシュレーフリの公式が利用できることがわかった。

双曲空間のことも考え、虚の三角法を考えてみたい。

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【１】虚の三角法

　オイラーの公式（１７４８年）

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

ド・モアブルの定理（１７２２年）

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

などは虚（あるいは複素数）の三角法の公式と捉えることがができるであろう．

　複素数の世界では，ｚ＝ｘ＋ｉｙとしたとき，

　　ｓｉｎｚ＝ｓｉｎｘｃｏｓｈｙ＋ｉｃｏｓｘｓｉｎｈｙ

　　ｃｏｓｚ＝ｃｏｓｘｃｏｓｈｙ−ｉｓｉｎｘｓｉｎｈｙ

　　ｅｘｐｚ＝ｅｘｐ（ｘ）ｃｏｓｙ＋ｉｅｘｐ（ｘ）ｓｉｎｙ

などのように書くことができる．

　ｓｉｎｚ，ｃｏｓｚが周期２πをもつこと

　　ｓｉｎ（ｚ＋２π）＝ｓｉｎｚ

は複素数の世界でも同じであるが，一方，ｅｘｐｚは虚の周期２πｉをもつ．

　　ｅｘｐ（ｚ＋２πｉ）＝ｅｘｐｚ

　なお，平面正弦定理では，

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ａ／Ｒ：ｂ／Ｒ：ｃ／Ｒ

であるが，球面正弦定理は

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ｓｉｎ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎ（ｃ／Ｒ）

で表される．

　それに対して，双曲的三角法では，球面正弦定理のＲをｉＲに置き換えることによって，

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ｓｉｎｈ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｃ／Ｒ）

が得られる．

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X=0とおくと

　　ｓｉｎ（ｉｙ）＝ｉｓｉｎｈ（ｙ）

　　ｃｏｓ（ｉｙ）＝ｃｏｓｈ（ｙ）

　　ｅｘｐ（ｉｙ）＝ｃｏｓｙ＋ｉｓｉｎｙ

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　　ｓｅｃ（ｉｙ）＝ｓｅｃｈ（ｙ）

　　ｔａｎ（ｉｙ）＝ｉｔａｎｈ（ｙ）

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