【３】kissing numberの上界と下界

　ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは，接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造「同じ半径の球をできるだけ稠密詰めるにはどうしたらよいか」という空間の球による充填問題と深い関連があります．

　　τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２

　また，４次元以上の高次元では，８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決です．

　　τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０

　ｎ次元球のkissing numberの上界は，コクセターの方法によって粗雑ながら押さえられます．それは１球面上に大きさの等しい球帽（球面上の円，球面半径φ）を埋め込むときの最密充填の問題に帰着されるのですが，（その４）で解説した単体的密度限界

　　ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(-n/2)Ｄn

　　　　＝（ｎ＋１）^(1/2)（ｎ！）^2／２^(3n/2)・ｖnＦn(1/2arcsec(n)θ)

と類似の方法になっています．

　ｎ次元正単体（二面角２θ）の頂点を超球の中心において，（ｎ−１）次元球面上に射影します．球面上には（ｎ−１）次元球面正三角形ができ，その面積は

　　Σ＝２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)

で与えられます．これは正単体の１辺の球面距離２φの関数になります．

　また，σを球面正三角形の頂角の和とすると，球面上にはｎ個の点が配置され，（ｎ−２）次元球帽が（ｎ−１）次元球面を覆うことになります．そして，１つの頂角は（ｎ−１）次元正単体を（ｎ−２）次元球面上に射影したものに等しくなりますから

　　σ＝ｎ２^(-n+1)（ｎ−１）！Ｆn-1(θ)

　すなわち，上界は

　　（ｐ，３，・・・，３），θ＝π／ｐ

なる三角形面正多面体（単体的正多面体：ｎ−１次元面が単体）の頂点に（ｎ−２）次元球を配置する問題となるのですが，ここで，球面上にＮ(φ)個の点を配置した場合，不等式

　　Ｎ(φ)≦σｓn／Σ

が成り立ちますから，最終的に

　　Ｎ(φ)≦２Ｆn-1(θ)／Ｆn(θ)

　　ｓｅｃ２θ＝ｓｅｃ２φ＋ｎ−２

を得ることができます．

　kissing number（τn）に関しては，φ＝π／６の場合を考えればよいので，　　τn≦２Ｆn-1(1/2arcsecn)／Ｆn(1/2arcsecn)

となり，

　　ｎ＝２　→　２Ｆ1(π/6)／Ｆ2(π/6)＝６

　　ｎ＝３　→　２Ｆ2(1/2arcsecn3)／Ｆ3(1/2arcsecn3)＝6/(3-π/arcsec3)＝１３．３９・・・

　　ｎ＝４　→　２Ｆ3(1/2arcsecn4)／Ｆ4(1/2arcsecn4)＝5(1+1/(2-2π/arcsec4))＝２６．４４・・・

　５次元以上では，数値積分によらなければなりませんが，

　　ｆn(x)＝Ｆn(1/2arcsecx)

と書くことにすると，

　　ｆ2(x)＝arcsecx/x

　　ｆn(x)＝1/π∫(n-1,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx

　　　　　＝ｆn(n)＋1/π∫(n,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx

　　ｆn(x)＝ｆn-1(x)-1/3ｆn-3(x)+2/15ｆn-5(x)-17/315ｆn-7(x)+62/2835ｆn-9(x)-･･･(n:odd)

　　ｆn(x)＝1/3ｆn-2(x)-2/15ｆn-4(x)+17/315ｆn-6(x)-62/2835ｆn-8(x)+･･･(n:even)

　リーチは台形則を用いて数値積分し，

　　２ｆn-1(n)／ｆn(n)

を求めました．その結果は

　　２ｆ3(4)／ｆ4(4)=22.44･･･

　　２ｆ4(5)／ｆ5(5)=48.70･･･

　　２ｆ5(6)／ｆ6(6)=85.81･･･

　　２ｆ6(7)／ｆ7(7)=146.57･･･

　　２ｆ7(8)／ｆ8(8)=244.62･･･

以下，(9)401,(10)648,(11)1035,(12)1637,･･･と続きます．

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