【１】シュレーフリ関数Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）

　シュレーフリ関数は

　　Ｓ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ΣＸ^n／ｎ^2（ｃｏｓ２ｎｘ−ｃｏｓ２ｎｙ＋ｃｏｓ２ｎｚ−１）−ｘ^2＋ｙ^2−ｚ^2

　　Ｘ＝（Ｄ−ｓｉｎｘｓｉｎｚ）／（Ｄ＋ｓｉｎｘｓｉｎｚ）

　　Ｄ＝（ｃｏｓ^2ｘｃｏｓ^2ｚ−ｃｏｓ^2ｙ）^(1/2)

で定義されます．

　　Σｃｏｓ２ｎｘ／ｎ^2＝（π／２−ｘ）^2−π^2／１２

　　Σｙ^nｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝−１／２ｌｏｇ（１−２ｙｃｏｓ２ｘ＋ｙ^2）

　　Σｙ^nｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝ａｒｃｔａｎ（（１＋ｙ）／（１−ｙ）ｔａｎｘ）−ｘ

が基本等式となり，特殊値

　　Ｓ（π／６，π／３，π／６）＝π^2／１５

　　Ｓ（π／６，π／４，π／６）＝π^2／４８

　　Ｓ（π／６，π／４，π／６）＝π^2／１４４

　　Ｓ（３π／１０，π／３，π／６）＝π^2／１８００

などが得られます．

　また，

　　Σｙ^nｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝−１／２ｌｏｇ（１−２ｙｃｏｓ２ｘ＋ｙ^2）

にｙ＝１を代入すると，オイラーが得た結果

　　Σｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝−ｌｏｇ（ｓｉｎｘ）−ｌｏｇ２

　　Σｙ^nｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝ａｒｃｔａｎ（（１＋ｙ）／（１−ｙ）ｔａｎｘ）−ｘ

にｙ＝−１を代入すると，ロバチェフスキー関数，アーベル関数との関係

　　１／２Σｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝−∫(0,x)ｌｏｇ（２ｃｏｓｘ）ｄｘ

−ｌｏｇ２

　　１／４ｉ｛φ(-exp(2ix))＋φ(-exp(-2ix))｝＝Ｌ(x)−ｘｌｏｇ２

が得られ，

　　Ｌ（π／２）＝π／２ｌｏｇ２

の値が求められます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝