■結び目の体積(その23)

【1】シュレーフリ関数S(x,y,z)

 

 シュレーフリ関数は

  S(x,y,z)=ΣX^n/n^2(cos2nx-cos2ny+cos2nz-1)-x^2+y^2-z^2

  X=(D-sinxsinz)/(D+sinxsinz)

  D=(cos^2xcos^2z-cos^2y)^(1/2)

で定義されます.

 

  Σcos2nx/n^2=(π/2-x)^2-π^2/12

  Σy^ncos2nx/n=-1/2log(1-2ycos2x+y^2)

  Σy^nsin2nx/n=arctan((1+y)/(1-y)tanx)-x

が基本等式となり,特殊値

  S(π/6,π/3,π/6)=π^2/15

  S(π/6,π/4,π/6)=π^2/48

  S(π/6,π/4,π/6)=π^2/144

  S(3π/10,π/3,π/6)=π^2/1800

などが得られます.

 また,

  Σy^ncos2nx/n=-1/2log(1-2ycos2x+y^2)

にy=1を代入すると,オイラーが得た結果

  Σcos2nx/n=-log(sinx)-log2

 

  Σy^nsin2nx/n=arctan((1+y)/(1-y)tanx)-x

にy=-1を代入すると,ロバチェフスキー関数,アーベル関数との関係

  1/2Σsin2nx/n=-∫(0,x)log(2cosx)dx

-log2

  1/4i{φ(-exp(2ix))+φ(-exp(-2ix))}=L(x)-xlog2

が得られ,

  L(π/2)=π/2log2

の値が求められます.

 

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