■結び目の体積(その12)

三角錐公式としてはサマーヴィルの公式やシュレーフリの公式が利用できることがわかった。

双曲空間のことも考え、虚の三角法を考えてみたい。

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【1】虚の三角法

 オイラーの公式(1748年)

  exp(iθ)=cosθ+isinθ

ド・モアブルの定理(1722年)

  (cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

などは虚(あるいは複素数)の三角法の公式と捉えることがができるであろう.

 複素数の世界では,z=x+iyとしたとき,

  sinz=sinxcoshy+icosxsinhy

  cosz=cosxcoshy−isinxsinhy

  expz=exp(x)cosy+iexp(x)siny

などのように書くことができる.

 sinz,coszが周期2πをもつこと

  sin(z+2π)=sinz

は複素数の世界でも同じであるが,一方,expzは虚の周期2πiをもつ.

  exp(z+2πi)=expz

 なお,平面正弦定理では,

  sinα:sinβ:sinγ=a/R:b/R:c/R

であるが,球面正弦定理は

  sinα:sinβ:sinγ=sin(a/R):sin(b/R):sin(c/R)

で表される.

 それに対して,双曲的三角法では,球面正弦定理のRをiRに置き換えることによって,

  sinα:sinβ:sinγ=sinh(a/R):sinh(b/R):sinh(c/R)

が得られる.

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