cosa=sinαcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)}^1/2

cosc=sinγcosα/{(sinγ)^2-(cosα)}^1/2

cosb=cosαcosβcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)}^1/2{(sinγ)^2-(cosα)}^1/2

(tana)^2=-G/(sinαcosγ)^2

(tanc)^2=-G/(sinγcosα)^2

(tanb)^2=-G(sinβ)^2cosβ/(cosαcosβcosγ)^2

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直交双曲四面体では

cosha=sinαcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)}^1/2

coshc=sinγcosα/{(sinγ)^2-(cosα)}^1/2

coshb=cosαcosβcosγ/{(sinα)^2-(cosβ)}^1/2{(sinγ)^2-(cosα)}^1/2

(tanha)^2=-G/(sinαcosγ)^2

(tanhc)^2=-G/(sinγcosα)^2

(tanhb)^2=-G(sinβ)^2cosβ/(cosαcosβcosγ)^2

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双曲四面体の体積と辺の長さや面角との基本的な関係に、シュレーフリの関係式がある。

Vを双曲四面体Tの体積、Eをその辺、Eの長さをＬ、Ｅでの面角をθとする。

このとき

∂Ｖ/∂θ＝-Ｌ/2

が成り立つ。

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