ひもの結び目を折れ線に置き換えます。

そのとき、結び目の曲がり角の合計が4π未満の場合、その和は結ばれていないというのが

ファリー・ミルノアの定理です。

例えば、三葉結び目は9か所の直角で交わる９本の辺でできています。

曲がり角の合計は9π/2＞4πですから結ぼ目になっていることがわかります。

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8の字結び目K8の体積は

ロバチェフスキー関数Λ(x)=-∫(0,x)log(2sinθ)dθ x=[0,π]を使って

6Λ(π/3)=2.02988

ホワイトヘッド絡み目Wの体積は

8Λ(π/4)=3.66386

と予想されている。

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　２項係数nＣkを(n,k)と書くことにすると，ポールテンの問題とは

　　36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）=π^4/90

というものです。　ポールテンは

　　1/2Σ1/n^4(2n,n)=∫(0,π/3)θ{log(2sin(θ/2))}^2dθ=17π^4/6480

を示すことによって彼自身の問題を解いたのですが，その際，ポリログ関数が使われたという話です．

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