三角形の内角の和は180°である。

平面上ではそうであるが、球面上では180°より大きい。　

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地球上で北極を出発して子午線上を赤道まで下り、赤道を1/4周進んで、また子午線を通って北極に帰る。

この経路は常に大円（測地線）上を進んでいて、大円弧3つによる球面正三角形ができる。

３回とも直角に曲がりますから、内角の合計は270°となる。

また４個の球面直角正三角形の面積は4π/8＝π/2となる。

球面三角形の面積は内角の和-πで与えられるから、3π/2-π＝π/2となって、両者は等しい。

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球面四角形の面積は内角の和-2πで与えられる

球面五角形の面積は内角の和-3πで与えられる

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一方、三角形の内角の和は、双曲面上では180°より小さくなる。

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ある地点を出発して真南に１キロ下り、そこから真東に１キロ進んで、また真北に1キロ進んだところで元に地点に戻った。

そのとき、クマに遭遇した。クマの色は何色だったか？

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