整数の分割では

ｎ＝△＋△＋△

ｎ＝□＋□＋□＋□

などを扱いますが，

ｎ＝１＋１＋１＋・・・＋１

は，ただひとつの１を超える部分をもたない整数ｎの分割です．

ところで，「分割数」とは与えられた整数にどれだけ多くの分割があるのかという整数の分割理論のことです．整数の分割では，3=2+1と3=1+2のように足し算の順序が違うものは同じと見なすことにします．たとえば，４を分割するには非増加数列で構成した５通りの方法，

4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1

がありますから，p(4)=5．同様に，

５=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1

より，p(5)=7となります．

ここで，p(n)はオイラーの分割数と呼ばれます．

p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,　　p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,･･･

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たとえば、8個の正方形はひとつながりになった板チョコがあるとします。

それをいろいろな個数の正方形の集まりに割るには22通りのの異なる方法があるというわけです。

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６角形を互いに交差しない対角線で4枚の三角形に分割することを考える

左右対称な「小の字型」６通り

左右非対称な「N字型」６通り

「三角型」２通り

計14の方法がある。

一般に(n+2)角形を交差しない対角線でｎ個の三角形に分割する方法の数と

nxn格子の中で対角線を超えずに端から端まで格子線に沿っていく道の数は同じカタラン数になります。

c(0)=1, c(1)=1,c(2)=2,c(3)=5,c(4)=14,c(6)=42

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