［２］回転する正六角形の追跡問題

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1辺の長さが1の正六角形を考える。6頂点が辺上を時計回りにaだけ移動すると、元の正六角形に内接する少し小さな正六角形ができる。

その辺長は

x={a^2+((1-a)^2-2a(1-a)cos120}^1/2=(a^2-a+1)^1/2

となる。

この操作を無限に続けていくと、渦巻は正六角形の中心でぶつかり、1本の渦の長さは

L=a+ax+ax^2+ax^3+・・・=a/(1-x)=a/{1-(a^2-a+1)^1/2}

={1+(a^2-a+1)^1/2}/(1-a)

となる。

a→0のとき、L→2となる。

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正六角形の頂点と重心間の距離をbとすると

bcos60=1/2→b=1/2・1/cos60

b^2+b^2tan^2(60)=b^2/cos^2(60)

L=1/2・1/(cos60)^2=2

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