【１】２^（√２）は超越数である

　　２^√２＝２．６６５１４４１４２６・・・

は超越数，すなわち，整数係数のどの代数方程式の根にもならない実数であることはゲルフォント・シュナイダーの定理

「ａは０でも１でもない代数的数，ｂは代数的無理数ならば，ａ^bは超越数である」

からいえるのです．２^（√２）の超越性の証明は１９３４年，ゲルフォントとシュナイダーによって独立になされました．

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【２】√２^√２は超越数である

　　√２^√２＝１．６３２５２６９１９・・・

√２^√２＝２^(１／√２)

　　（√２^√２）^2=２^√２（超越数)

もし，√２^√２が代数的数ならば，２^√２も代数的数ということになり，矛盾→√２^√２は代数的数ではない．

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おもしろいことに、無理数の無理数乗は有理数になることがあるという定理があります。

２^（√２）の平方根{２^（√２）}^1/2＝√２^√２は、２^（√２）が有理数か無理数かにかかわらず、有理数になります。

もし√２^√２が有理数ならば定理は正しいことになりますし、無理数なら√２^√２の√２乗は(√２^√２)^√２＝(√２)^2＝２となって、やはり定理は正しいのです。

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