ｐ^2−１を計算してみると

　　　　３＝２^2−１

　　　　８＝３^2−１

　　　２４＝５^2−１

　　　４８＝７^2−１＝２・２４

　　１２０＝１１^2−１＝５・２４

　　１６８＝１３^2−１＝７・２４

　　２８８＝１７^2−１＝１２・２４

　　３６０＝１９^2−１＝１５・２４

　　５２８＝２３^2−１＝２２・２４

　　８４０＝２９^2−１＝３５・２４

3以上の素数はすべて４ｎ±１、5以上の素数はすべて６ｎ±１の奇数であることを利用するほうが簡単と思われる。

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　　ｐ^2−１＝（ｐ＋１）（ｐ−１）

ｐ＞２のとき，（ｐ＋１），（ｐ−１）はともに偶数．

また，ｐ＞３のとき，ｐ＝４ｋ±１と書くことができるので，

　　ｐ＝４ｋ＋１→ｐ＋１＝４ｋ＋２，ｐ−１＝４ｋ

　　ｐ＝４ｋ−１→ｐ＋１＝４ｋ，ｐ−１＝４ｋ−２

あるいは，

　　ｐ^2−１＝１６ｋ^2±８ｋ＝８ｋ（２ｋ±１）

であるから，ｐ^2−１は８の倍数となる．

　さらに，ｐ＞３のとき，ｐ＝６ｋ±１と書くことができるので，

　　ｐ^2−１＝３６ｋ^2±１２ｋ＝１２ｋ（３ｋ±１）

８と１２の最小公倍数は２４であるから，ｐ^2−１は２４の倍数となる．

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