■(素数)^2−1(その15)

 p^2−1を計算してみると

    3=2^2−1

    8=3^2−1

   24=5^2−1

   48=7^2−1=2・24

  120=11^2−1=5・24

  168=13^2−1=7・24

  288=17^2−1=12・24

  360=19^2−1=15・24

  528=23^2−1=22・24

  840=29^2−1=35・24

===================================

  p^2−1=(p+1)(p−1)

p>2のとき,(p+1),(p−1)はともに偶数.

また,p>3のとき,p=3k±1(kは偶数)と書くことができるので,

  p=3k+1→p+1=3k+2,p−1=3k

  p=3k−1→p+1=3k,p−1=3k−2

あるいは,

  p^2−1=9k^2±6k=3k(3k±2)

  k,(3k±2)とも偶数

であるから,p^2−1は12の倍数となる.

 さらに,p>3のとき,p=6k±1と書くことができるので,

  p^2−1=36k^2±12k=12k(3k±1)

  k,(3k±1)の少なくても一方は偶数であるから,p^2−1は24の倍数となる.

===================================

3以上の素数はすべて4n±1、5以上の素数はすべて6n±1の奇数であることを利用するほうが簡単と思われる。

===================================