■空間分割の二項係数表現(その2)

(問)直線をn個の点で分割する.その際,分割によってできる領域が最も多くなるようにする.最大分割領域数Snはいくつになるか,の答は

  Sn=(n,0)+(n,1)

(問)平面をn本の線で分割する.その際,分割によってできる領域が最も多くなるようにする.最大分割領域数Snはいくつになるか,の答は

  Sn=(n,0)+(n,1)+(n,2)=(n^2+n+2)/2

  S0=1,S1=2,S2=4,S3=7,

  S4=11,S5=16,S6=22,S7=29,

  S8=37,S9=46,S10=56,・・・

(問)空間をn枚の平面で分割する.その際,分割によってできる領域が最も多くなるようにする.最大分割領域数Snはいくつになるか,の答は

  Sn=(n,0)+(n,1)+(n,2)+(n,3)=(n3+5n+6)/6

  S0=1,S1=2,S2=4,S3=8,

  S4=15,S5=26,S6=42,S7=64,

  S8=93,S9=130,S10=176,・・・

 一般に,

(問)m次元空間をn枚の超平面で分割する.その際,分割によってできる領域が最も多くなるようにする.最大分割領域数Snはいくつになるか,の答は

  Sn=(n,0)+(n,1)+(n,2)+(n,3)+・・・+(n,m)

となるが,これらの問題は二項係数で表現するときれいなパターンになる.

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