Coxeterは正多角形の三角分割でなく

正多面体・正胞体の単体分割によるフリーズを取り扱っているのですが、計算してみたところ、以下のようになりました。

それぞれ6角形のフリーズ、5角形のフリーズに対応する

６角形を互いに交差しない対角線で4枚の三角形に分割することを考える

左右対称な「小の字型」６通り

左右非対称な「N字型」６通り

「三角型」２通り

計14の方法がある。

一般に(n+2)角形を交差しない対角線でｎ個の三角形に分割する方法の数と

nxn格子の中で対角線を超えずに端から端まで格子線に沿っていく道の数は同じカタラン数になります。

c(0)=1, c(1)=1,c(2)=2,c(3)=5,c(4)=14,c(6)=42

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正8胞体では

cosδ= 0→1/2,1

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　１　　　２　　　２　　　２　　　１・・・(sec)^2

　　　　１　　　３　　　３　　　１・・・(tan)^2

　　　　　　１　　　４　　　１

　　　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　　　０

{{(tanα)^2(tanβ)^2(tanγ)^2-(tanα)^2-(tanγ)^2 -1}{{(tanδ)^2(tanβ)^2(tanγ)^2-(tanδ)^2-(tanβ)^2 -1}=(secβ)^2(secγ)^2

(9-5)(9-5)=(secβ)^2(secγ)^2=16・・・OK

幅3であるから種数列の周期は6となるはずである

f-1=0,f0=1,f1=1,f2=1,f3=1,f4=1,f5=0

a1=(f1+f-1)/f0=1

a2=(f2+f0)/f1=2

a3=(f3+f1)/f2=2

a4=(f4+f2)/f3=2

a5=(f5+f3)/f4=1

a6=12-1-2-2-2-1=4

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　１　　　２　　　２　　　２　　　１　　　４　　　１

　　　　１　　　３　　　３　　　１　　　３　　　３

　　　　　　１　　　４　　　１　　　２　　　２

　　　　　　　　１　　　１　　　１　　　１

　　　　　　　　　　０　　　０

種数列は(1,2,2,2,1,4)・・・6角形のフリーズ

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正16胞体では

cosδ= -1/2→1/4,3

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　２　　　１　　　４・・・(sec)^2

　　　　３　　　３　　　１　　　３・・・(tan)^2

　　　　　　４　　　１　　　２

　　　　　　　　１　　　１　

　　　　　　　　　　０

{{(tanα)^2(tanβ)^2(tanγ)^2-(tanα)^2-(tanγ)^2 -1}{{(tanδ)^2(tanβ)^2(tanγ)^2-(tanδ)^2-(tanβ)^2 -1}=(secβ)^2(secγ)^2

(9-5)(9-7)=(secβ)^2(secγ)^2=8・・・OK

幅3であるから種数列の周期は6となるはずである

f-1=0,f0=1,f1=2,f2=3,f3=4,f4=1,f5=0

a1=(f1+f-1)/f0=2

a2=(f2+f0)/f1=2

a3=(f3+f1)/f2=2

a4=(f4+f2)/f3=1

a5=(f5+f3)/f4=4

a6=12-2-2-2-1-4=1

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　２　　　１　　　４　　　１　　　２

　　　　３　　　３　　　１　　　３　　　３　　　１

　　　　　　４　　　１　　　２　　　２　　　２

　　　　　　　　１　　　１　　　１　　　１

　　　　　　　　　　０　　　０　　　０

種数列は(2,2,2,1,4,1)・・・6角形のフリーズ

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正24胞体では

cosδ= -1/2→1/4,3

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　１　　　４　　　１

　　　　３　　　１　　　３　　　３

　　　　　　１　　　２　　　２

　　　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　　　０

{{(tanα)^2(tanβ)^2(tanγ)^2-(tanα)^2-(tanγ)^2 -1}{{(tanδ)^2(tanβ)^2(tanγ)^2-(tanδ)^2-(tanβ)^2 -1}=(secβ)^2(secγ)^2

(9-7)(9-5)=(secβ)^2(secγ)^2=8・・・OK

幅3であるから種数列の周期は6となるはずである

f-1=0,f0=1,f1=2,f2=3,f3=1,f4=1,f5=0

a1=(f1+f-1)/f0=2

a2=(f2+f0)/f1=2

a3=(f3+f1)/f2=1

a4=(f4+f2)/f3=4

a5=(f5+f3)/f4=1

a6=12-2-2-1-4-1=2

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　１　　　４　　　１　　　２　　　２

　　　　３　　　１　　　３　　　３　　　１　　　３

　　　　　　１　　　２　　　２　　　２　　　１

　　　　　　　　１　　　１　　　１　　　１

　　　　　　　　　　０　　　０　　　０

種数列は(2,2,1,4,1,2)・・・6角形のフリーズ

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正八面体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　１　　　３

　　　　３　　　１　　　２

　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　０

とおけて

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=1

(tanγ)^2=2

cosδ= -1/3→1/3,2　

(tanα)^2(tanγ)^2＝6

(secα)^2(secγ)^2/(secβ)^2＝4・3/2＝6

幅2であるから種数列の周期は5となるはずである

f-1=0,f0=1,f1=2,f2=3,f3=1,f4=0

a1=(f1+f-1)/f0=2

a2=(f2+f0)/f1=2

a3=(f3+f1)/f2=1

a4=(f4+f2)/f3=3

a5=9-2-2-1-3=1

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　１　　　３　　　１　　　２

　　　　３　　　１　　　２　　　２　　　１

　　　　　　１　　　１　　　１　　　１

　　　　　　　　０　　　０　　　０

種数列は(2,2,1,3,1)・・・5角形のフリーズ

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立方体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　１　　　２　　　２　　　１

　　　　１　　　３　　　１

　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　０

とおけて

(tanα)^2=1

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=1

cosδ= 0→1/2,1

α=π/4,β=π/3→一致 　

(tanα)^2(tanγ)^2＝1

(secα)^2(secγ)^2/(secβ)^2＝2・2/4＝1

幅2であるから種数列の周期は5となるはずである

f-1=0,f0=1,f1=1,f2=1,f3=1,f4=0

a1=(f1+f-1)/f0=1

a2=(f2+f0)/f1=2

a3=(f3+f1)/f2=2

a4=(f4+f2)/f3=1

a5=9-1-2-2-1=3

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　１　　　２　　　２　　　１　　　３　　　１

　　　　１　　　３　　　１　　　２　　　２

　　　　　　１　　　１　　　１　　　１

　　　　　　　　０　　　０　　　０

種数列は(1,2,2,1,3)・・・5角形のフリーズ

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