p^2-1を計算してみると
3=2^2-1
8=3^2-1
24=5^2-1
48=7^2-1=2・24
120=11^2-1=5・24
168=13^2-1=7・24
288=17^2-1=12・24
360=19^2-1=15・24
528=23^2-1=22・24
840=29^2-1=35・24
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p^2-1=(p+1)(p-1)
p>2のとき,(p+1),(p-1)はともに偶数.
また,p>3のとき,p=3k±1(kは偶数)と書くことができるので,
p=3k+1→p+1=3k+2,p-1=3k
p=3k-1→p+1=3k,p-1=3k-2
あるいは,
p^2-1=9k^2±6k=3k(3k±2)
k,(3k±2)とも偶数
であるから,p^2-1は12の倍数となる.
さらに,p>3のとき,p=6k±1と書くことができるので,
p^2-1=36k^2±12k=12k(3k±1)
k,(3k±1)の少なくても一方は偶数であるから,p^2-1は24の倍数となる.
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