ガウスの奇跡の五芒星は、星形五角形を２枚貝のように上下から貼り合わせたものになっている。

星形五角形による球面のcongruent bisectionと意味付けることができる。ところで・・・

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ガウスの奇跡の五芒星は、(1,1,1・・・)間の行数が2のフリーズになっている。

行数2のフリーズの併進鏡映性は

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　ａ　　　ｂ　　　ｃ　　　ｄ　　　ｅ　　　ａ

　　　　ｄ　　　ｅ　　　ａ　　　ｂ　　　ｃ

　　　　　　１　　　１　　　１　　　１

　　　　　　　　０　　　０　　　０

のように書くことができる。　種数列は(a,b,c,d,e)

したがって、第１対角線(a,d)が与えられれば、ユニモデュラ規則によって,第２対角線は

b=(d+1)/a

e={1+(1+d)/a}/d=(a+d+1)/ad

第3対角線は

c=(1+e)/b=(a+1)(1+d)/d(1+d)=(a+1)/d

すなわち、

b=(d+1)/a

e=(a+d+1)/ad

c=(a+1)/d

となる

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正12面体や正20面体の基本単体分割では下の(1,1,1・・・)が現れませんでしたが（無理数が出現）、1111．．．が現れるように書き直すことができる。

正20面体では

１　　　１　 　１　　　　１　　　１　　　１　　　１　

　　τ^4　　4τ^-4　τ^2　　３　　　√5τ^-3　τ^4

　　　　３　 √5τ^-3　τ^4 4τ^-4　τ^2　　３

　　　　　　１　　　１　　　１　　　１　　　　１

　　　　　　　　０　　　０　　　０　　　　０

a=τ^4

b=4τ^-4

c=τ^2

d=3

e=√5τ^-3

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正12面体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　　　　１

　　τ^2　4τ^-4 τ^4　　　√5τ^-3　　３　　　　　τ^2　　

　　　√5τ^-3　　３　　τ^2　　　4τ^-4 　　τ^4　　　√5τ^-3

　　　　　　　１　　　１　　　１　　　　１　　　　　１

　　　　　　　　０　　　　０　　　０　　　　　０

a=τ^2

b=4τ^-4

c=τ^4

d=√5τ^-3

e=3

両者は巡回置換になっているだけである。

これでガウスの五芒星を設計したらどのような形になるのだろうか？

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a=(tanα)^2

b=(tanβ)^2

c=(tanγ)^2

d=(tanδ)^2

e=(tanε)^2

1+a=cd,1+b=de,1+c=ea,1+d=ab,1+e=bc

(cosα)^2=1/cd

(cosβ)^2=1/de

(cosγ)^2=1/ea

(cosδ)^2=1/ab

(cosε)^2)=1/bc

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a=τ^4=3τ＋２

b=4τ^-4＝−12τ＋20

c=τ^2＝τ＋１

d=3

e=√5τ^-3＝-4τ＋７

(cosα)^2=τ^-2/3

(cosβ)^2=τ^3/3√5

(cosγ)^2=τ^-1/√5

(cosδ)^2=1/4

(cosε)^2)=τ^2/4

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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