■フリーズの幾何学(その68)

ガウスの奇跡の五芒星は、星形五角形を2枚貝のように上下から貼り合わせたものになっている。

星形五角形による球面のcongruent bisectionと意味付けることができる。ところで・・・

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ガウスの奇跡の五芒星は、(1,1,1・・・)間の行数が2のフリーズになっている。

行数2のフリーズの併進鏡映性は

1   1   1   1   1   1   1

  a   b   c   d   e   a

    d   e   a   b   c

      1   1   1   1

        0   0   0

のように書くことができる。 種数列は(a,b,c,d,e)

一方、行数3のフリーズの併進鏡映は

1   1   1   1   1   1   1

  a   b   c   d   e   f

    x   y   z   x   y   z

      e   f   a   b

        1   1   1

          0   0   0

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正5胞体・正120胞体・正120胞体の基本単体分割では下の(1,1,1・・・)が現れませんでしたが(分数や無理数が出現)、1111...が現れるように書き直すことができなかった。

これらの正多胞体では2行目が

    x   y   z   w

となって、ほかの要素が計算不能になるのである。

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一方、正4面体・正12面体・正20面体の基本単体分割でも下の(1,1,1・・・)が現れませんでしたが(分数や無理数が出現)、1111...が現れるように書き直すことがで来た理由は

2行目の

    d   e   a

が既知で要素の要素に影響を与えないからである。

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