有理数p/qに対応するフォード円は、直径が1/q^2であって、数直線のp/qにおいて接する円である。

一方、分母が高々ｄの有理数からなる数列を位数ｄのファレイ数列といい、その各項は高さが1/d^2以上1/(d+1)^2未満の任意の水平線と交わるフォード円と対応している。

位数４のファレイ数列は[0/1,1/4,1/3,1/2,2/3,3/4,1/1]であることが分かる

また、これよりディオファントス近似に関する定理

｜α-p/q｜＜1/2q^2を満たすものが無数に存在することも理解される

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【３】等角同値

　フォードの円列では群ＰＳＬ（２，Ｚ），すなわち，上半平面から上半平面への写像

　　ｚ　→　（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

　　ａ，ｂ，ｃ，ｄは整数，ａｄ−ｂｃ＝１

全体のなす群を考えたが，群ＳＬ（２，Ｚ）とＧＬ（２，Ｚ）の有理数への作用は，たとえば，等角写像

　　ｚ　→　（ｚ−ｉ）／（ｚ＋ｉ）

により上半平面からポアンカレ円板に写して考えると，ユークリッド幾何学的なフォードの円は双曲幾何学的な円板の境界に接する円となる．

　アポロニウスのガスケットは自己相似性をもつ図形であるが，２つのアポロニウスのガスケットは１次分数変換で写り合う等角同値な図形でもあることになる．

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