■球の一般化(その3)

 単位n次元徴求の表面積をσn,体積をωnとします.表面付近の厚さhの薄皮の体積は

  σnh≒ωn(1−(1−h)^n)

ですから,h→0の極限において

  σn=nωn

  σ2=2π,σ3=4π,σ4=2π^2,・・・

[Q]ωnが最大となるnは5であるが,σnが最大となるnは?

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[A]比をとると

  σ4/σ3=π/2,σ5/σ4=4/3,σ6/σ5=3π/8,σ7/σ6=16/15>1

  σ8/σ7=5π/16<1,σ9/σ8=32/35<1,・・・

よって,

  σ7が最大で,σ7=16π^3/15=33.0733

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