正八面体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　１　　　３

　　　　３　　　１　　　２

　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　０

とおけて

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=1

(tanγ)^2=2

cosδ= -1/3→1/3,2　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

立方体では

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　１　　　２　　　２　　　１

　　　　１　　　３　　　１

　　　　　　１　　　１

　　　　　　　　０

とおけて

(tanα)^2=1

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=1

cosδ= 0→1/2,1

α=π/4,β=π/3→一致 　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ＝1

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=1/2

cosδ= 1/3→2/3,1/2

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　２　　　２　　　２　　　3/4

　　　　３　　　３　　　1/2

　　　　　　４　　　1/4

　　　　　　　　０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正20面体では

cosδ= -√5/3→(3-√5)/6,(7+3√5)/2 →(tanγ)^2＝2+3τ=τ^4

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　２　　　２　　　　4-2τ　3/2τ^5

　　　　３　　　7-4τ　τ^4

　　　　　10-6τ　τ^4/2

　　　　　　　　０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正12面体では

cosδ= -√5/5→(5-√5)/10,(3+√5)/2 →(tanγ)^2＝τ^2

１　　　１　　　１　　　１　　　１

　　2τ^-2　２　　　２　　√5τ/2

　　　　7-4τ　　３　　τ^2

　　　　　2τ^-4　τ4/2

　　　　　　　　０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

結局、シュレーフリ記号と２面角から3行目を決めて(2,0)=2とすればよい

ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0

(tanα)^2(tanγ)^2-(cosβ)^2/(cosα)^2(cosγ)^2=0

　が導き出せればよい

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(-1,1)(0,2)-(0,1)(-1,2)=1

(secα)^2-(tanα)^2=1

(secβ)^2-(tanβ)^2=1

(secγ)^2-(tanγ)^2=1

(-1,2)(0,3)-(0,2)(-1,3)=1

(tanα)^2(tanβ)^2-xy=1

(tanβ)^2(tanγ)^2-zw=1

(-1,3)(0,4)-(0,3)(-1,4)=1

yw-(tanβ)^2ω=1

ω=0

yw=1

(tanα)^2=(xy+1)/(tanβ)^2

(tanγ)^2=(zw+1)/(tanβ)^2

(tanα)^2(tanγ)^2=(xy+1)(zw+1)/(tanβ)^4

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(secα)^2-1=(tanα)^2

(secγ)^2-1=(tanγ)^2

(tanα)^2(tanγ)^2={(secα)^2-1}{(secγ)^2-1}

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

xy=(0,2)(-1,3)=(tanADC)^2=AC^2/CD^2

zw=(1,3)(0,4)=(tanBAD)^2=BD^2/AB^2

xy+1=AD^2/CD^2

zw+1=AD^2/AB^2

yw=1

(tanα)^2(tanγ)^2=(xz+xy+zw+1)/(tanβ)^4

xz=(0,2)(1,3)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

xz+xy+zw=(0,2)(-1,3)+(1,3)(0,4)+(0,2)(1,3)

={(-1,3)/(1,3)+(0,4)/(0,2)+1}(0,2)(1,3)

={(tanADB)^2+(tanCAD)^2+1}(0,2)(1,3)

={(tanADB)^2+(tanCAD)^2+1}(secβ)^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝