■シュレーフリの公式と直角三角錐(その166)

正八面体では

1   1   1   1   1

  2   2   1   3

    3   1   2

      1   1

        0

とおけて

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=1

(tanγ)^2=2

cosδ= -1/3→1/3,2 

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立方体では

1   1   1   1   1

  1   2   2   1

    1   3   1

      1   1

        0

とおけて

(tanα)^2=1

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=1

cosδ= 0→1/2,1

α=π/4,β=π/3→一致  

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正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ=1

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=1/2

cosδ= 1/3→2/3,1/2

1   1   1   1   1

  2   2   2   3/4

    3   3   1/2

      4   1/4

        0

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正20面体では

cosδ= -√5/3→(3-√5)/6,(7+3√5)/2 →(tanγ)^2=2+3τ=τ^4

1   1   1   1   1

 2   2    4-2τ 3/2τ^5

    3   7-4τ τ^4

     10-6τ τ^4/2

        0

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正12面体では

cosδ= -√5/5→(5-√5)/10,(3+√5)/2 →(tanγ)^2=τ^2

1   1   1   1   1

  2τ^-2 2   2  √5τ/2

    7-4τ  3  τ^2

     2τ^-4 τ4/2

        0

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  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

  φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7

  φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

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結局、シュレーフリ記号と2面角から3行目を決めて(2,0)=2とすればよい

ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0

(tanα)^2(tanγ)^2-(cosβ)^2/(cosα)^2(cosγ)^2=0

 が導き出せればよい

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(-1,1)(0,2)-(0,1)(-1,2)=1

(secα)^2-(tanα)^2=1

(secβ)^2-(tanβ)^2=1

(secγ)^2-(tanγ)^2=1

(-1,2)(0,3)-(0,2)(-1,3)=1

(tanα)^2(tanβ)^2-xy=1

(tanβ)^2(tanγ)^2-zw=1

(-1,3)(0,4)-(0,3)(-1,4)=1

yw-(tanβ)^2ω=1

ω=0

yw=1

(tanα)^2=(xy+1)/(tanβ)^2

(tanγ)^2=(zw+1)/(tanβ)^2

(tanα)^2(tanγ)^2=(xy+1)(zw+1)/(tanβ)^4

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(secα)^2-1=(tanα)^2

(secγ)^2-1=(tanγ)^2

(tanα)^2(tanγ)^2={(secα)^2-1}{(secγ)^2-1}

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xy=(0,2)(-1,3)=(tanADC)^2=AC^2/CD^2

zw=(1,3)(0,4)=(tanBAD)^2=BD^2/AB^2

xy+1=AD^2/CD^2

zw+1=AD^2/AB^2

yw=1

(tanα)^2(tanγ)^2=(xz+xy+zw+1)/(tanβ)^4

xz=(0,2)(1,3)

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