■シュレーフリの公式と直角三角錐(その160)

1行目はすべて1

3行目は(tanα)^2・・・一意に決まる

2行目は2項の積が(secα)^2・・・一意に決まらないが、

(tanα)^2-(secα)^2=1

を満足する。どれかを一意に決めればすべて一意となる。

そこで(0,2)=(1,3)=secβとおく

(-1,1)=(secα)^2cosβ

(2,4)=(secγ)^2cosβ

とおく

(-1,1)(0,2)=(secβ)^2

(1,3)(2,4)=(secγ)^2

これですべて一意に決まる。

(-1,1)=(secα)^2cosβ

(0,2)=secβ

(1,3)=secβ

(2,4)=(secγ)^2cosβ

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4次元の場合は

(-1,1)=(secα)^2(cosβ)(secγ)

(0,2)=(secβ)(cosγ)

(1,3)=(secβ)(secγ)

(2,4)=(cosβ)(secγ)

(3,1)=(secβ)(cosγ)(secδ)^2

これですべて一意に決まる。

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5次元の場合は

(-1,1)=(secα)^2(cosβ)^2(secγ)

(0,2)=(secβ)^2(cosγ)

(1,3)=(secγ)

(2,4)=(secγ)

(3,5)=(cosγ)(secδ)^2

(4,6)=(secγ)(cosδ)^2(secε)^2

これですべて一意に決まる。

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6次元の場合は

(-1,1)=(secα)^2(cosβ)^2(secγ)(cosδ)

(0,2)=(secβ)^2(cosγ)(secδ)

(1,3)=(secγ)(cosδ)

(2,4)=(secγ)(secδ)

(3,5)=(cosγ)(secδ)

(4,6)=(secγ)(cosδ)(secε)^2

(5,7)=(cosγ)(secδ)(cosε)^2(secζ)^2

これですべて一意に決まる。

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4行目は(tanα)^2(tanβ)^2-(secα)^2(secβ)^2=1?

(sinα)^2(sinβ)^2-1=(cosα)^2(cosβ)^2?

1/4{cos(α+β)-cos(α-β)}^2-1/4{cos(α+β)+cos(α-β)}^2=1?

-cos(α+β)cos(α-β)=1

-1/2{cos(2α)+cos(2β)}=1

5行目は4行目の2項の積が1であれば、0になる。

B系、F4では1・1の形にできているが、A系、H系ではa・1/a=1の形になっている。

上記の変換で1・1の形にできるだろうか?

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正12面体ではα=π/5,β=π/3→(10-2(5)^1/2)^1/2sinγ=2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2=2{(10+2(5)^1/2)^1/2}/(80)^1/2

sinγ=2/(10-2(5)^1/2)^1/2={(10+2(5)^1/2)^1/2}/2(5)^1/2

(sinγ)^2={(10+2(5)^1/2)}/20

(cosγ)^2={(10-2(5)^1/2)}/20

(tanγ)^2=τ^2

(tanα)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=τ^2

正12面体では

1   1   1     1     1

 √5τ   4    1    √5τ

   √5τ^-3  3     τ^2

      τ^-4  τ^4

        0

cosδ= -√5/5→(5-√5)/10,(3+√5)/2

      1   1パターンはできていない。

(-1,1)=(1,4)

(-1,2)=(2,4)もできていない

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(tanα)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ→cosα=1/(√5-1)=(√5+1)/2=τ/2

(tanβ)^2=3→cosβ=1/2

(tanγ)^2=τ^2→cosγ=1/(τ^2+1)^1/2

(-1,1)=(secα)^2cosβ=2τ^-2

(0,2)=secβ=2

(1,3)=secβ=2

(2,4)=(secγ)^2cosβ= (τ^2+1)/2

正12面体では

1   1   1     1     1

 2τ^-2   2    2    (τ^2+1)/2

   √5τ^-3  3     τ^2

      2τ^-4  τ^4/2

        0

cosδ= -√5/5→(5-√5)/10,(3+√5)/2

      1   1パターンはできていない。

(-1,1)=(1,4)

(-1,2)=(2,4)もできていない

正12面体では(その137)の続き

1   1   1   1   1

  2τ^-2 2   2  √5τ/2

    7-4τ  3  τ^2

     2τ^-4 τ4/2

        0→0になった

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  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

  φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7

  φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

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