■シュレーフリの公式と直角三角錐(その146)

半角

(cosθ/2)^2=(1+cosθ)/2

(tanθ/2)^2=(1-cosθ)/(1+cosθ)

二面角は既知

3次元

cosδ= 1/3→2/3,1/2

cosδ= 0→1/2,1

cosδ= -1/3→1/3,2

cosδ= -√5/5→(5-√5)/10,(3+√5)/2

cosδ= -√5/3→(3-√5)/6,(7-3√5)/2

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4次元

cosδ= 1/4→5/8,3/5

cosδ= 0→1/2,1

cosδ= -1/2→1/4,3

cosδ= -1/2→1/4,3

cosδ= -(1+√5)/4→(3-√5)/8,5+2√5

cosδ= -(1+3√5)/8→(7-3√5)/16,27+12√5

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n次元

cosδ= 1/n→(n+1)/2n,(n-1)/(n+1)

cosδ=0→1/2,1

cosδ= -(n-2)/n→1/n,n-1

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ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ=1

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ= √2

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ=φ

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正八面体では

cosδ= -1/3→1/3,2

1   1   1   1   1

  2   2   1   3・・・(sec)^2

    3   1   2・・・(tan)^2

      1   1

        0

とおけて

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=1

(tanγ)^2=2

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ=√2と一致  

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正16胞体では

cosδ= -1/2→1/4,3

1   1   1   1   1   1

  2   2   2   1   4・・・(sec)^2

    3   3   1   3・・・(tan)^2

      4   1   2

        1   1 

          0

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正16胞体では(p160と一致)

1   1   1   1   1

  2   2   2   1

    3   3   1

      4   1

        1

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