■シュレーフリの公式と直角三角錐(その124)

1行目はすべて1

3行目は(tanα)^2・・・一意に決まる

2行目は2項の積が(secα)^2・・・一意に決まらないが、

(tanα)^2-(secα)^2=1

を満足する。どれかを一意に決めればすべて一意となる。

そこで(0,2)=(1,3)=secβとおく

(-1,1)=(secα)^2cosβ

(2,4)=(secγ)^2cosβ

とおく

(-1,1)(0,2)=(secβ)^2

(1,3)(2,4)=(secγ)^2

これですべて一意に決まる。

(-1,1)=(secα)^2cosβ

(0,2)=secβ

(1,3)=secβ

(2,4)=(secγ)^2cosβ

===================================

4次元の場合は

(-1,1)=(secα)^2(cosβ)(secγ)

(0,2)=(secβ)(cosγ)

(1,3)=(secβ)(secγ)

(2,4)=(cosβ)(secγ)

(3,1)=(secβ)(cosγ)(secδ)^2

これですべて一意に決まる。

===================================

5次元の場合は

(-1,1)=(secα)^2(cosβ)^2(secγ)

(0,2)=(secβ)^2(cosγ)

(1,3)=(secγ)

(2,4)=(secγ)

(3,5)=(cosγ)(secδ)^2

(4,6)=(secγ)(cosδ)^2(secε)^2

これですべて一意に決まる。

===================================

6次元の場合は

(-1,1)=(secα)^2(cosβ)^2(secγ)(cosδ)

(0,2)=(secβ)^2(cosγ)(secδ)

(1,3)=(secγ)(cosδ)

(2,4)=(secγ)(secδ)

(3,5)=(cosγ)(secδ)

(4,6)=(secγ)(cosδ)(secε)^2

(5,7)=(cosγ)(secδ)(cosε)^2(secζ)^2

これですべて一意に決まる。

===================================

4行目は(tanα)^2(tanβ)^2-(secα)^2(secβ)^2=1?

(sinα)^2(sinβ)^2-1=(cosα)^2(cosβ)^2?

1/4{cos(α+β)-cos(α-β)}^2-1/4{cos(α+β)+cos(α-β)}^2=1?

-cos(α+β)cos(α-β)=1

-1/2{cos(2α)+cos(2β)}=1

5行目は4行目の2項の積が1であれば、0になる。

B系、F4では1・1の形にできているが、A系、H系ではa・1/a=1の形になっている。

上記の変換で1・1の形にできるだろうか?

===================================

正四面体では

1   1   1   1   1

  1   4   1  3/2・・・(sec)^2→(0,2)=2が推奨されている

    3   3   1/2・・・(tan)^2

      2   1/2

        0

      1   1パターンはできていない。

(-1,1)=(1,4)

(-1,2)=(2,4)もできていない

(tanα)^2=3→cosα=1/2

(tanβ)^2=3→cosβ=1/2

(tanγ)^2=1/2→cosγ=√((2/3)

(-1,1)=(secα)^2cosβ=2

(0,2)=secβ=2

(1,3)=secβ=2

(2,4)=(secγ)^2cosβ=3/4

1   1   1   1   1

  2   2   2  3/4・・・(sec)^2

    3   3   1/2・・・(tan)^2

      4   1/4

        0

      1   1パターンはできていない。

(-1,1)=(1,4)

(-1,2)=(2,4)もできていない

===================================

正5胞体では

1   1   1   1   1   1

  4   1   4   1    8/5・・・(sec)^2→(0,2)=2が推奨されている

    3   3   3  3/5・・・(tan)^2

      8   2   4/5

        5   1/5

        0

      1   1パターンはできていない。

(-1,1)=(1,5)

(-1,2)=(2,5)もできていない

===================================

(tanα)^2=3→cosα=1/2

(tanβ)^2=3→cosβ=1/2

(tanγ)^2=3→cosγ=1/2

(tanδ)^2=3/5→cosδ=√(5/8)

(-1,1)=(secα)^2(cosβ)(secγ)=4

(0,2)=(secβ)(cosγ)=1

(1,3)=(secβ)(secγ)=4

(2,4)=(cosβ)(secγ)=1

(3,1)=(secβ)(cosγ)(secδ)^2=8/5

1   1   1   1   1   1

  4   1   4   1    8/5・・・(sec)^2→(0,2)=2が推奨されている

    3   3   3  3/5・・・(tan)^2

      8   2   4/5

        5   1/5

        0

      1   1パターンはできていない。

(-1,1)=(1,5)

(-1,2)=(2,5)もできていない

===================================