■シュレーフリの公式と直角三角錐(その107)
4次元版の計算をしてみたいのであるが・・・
ユークリッド空間の基本単体では
(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0
sinαsinγ-cosβ=0→これに相当する式が分からない。
正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ=1
正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ=√2
正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ=φ
kaleidoscope, p102-103
(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)
(-1,1),(0,2),(1,3),(2,4)
(-1,2),(0,3),(1,4)
(-1,3),(0,4)
(-1,4)
a^2(tanγ)^2=1
c^2(tanα)^2=1
b^2=a^2c^2
a=AB,b=BC,c=CD
d=ADとすると
d^2=(tanβ)^2
(secα)^2=(-1,1)(0,2)
(secβ)^2=(0,2)(1,3)
(secγ)^2=(1,3)(2,4)→(secδ)^2=(2,4)(3,5)と思われる
(tanα)^2=(-1,2)=(2,4)
(tanβ)^2=(0,3)
(tanγ)^2=(1,4)→(tanδ)^2=(2,5)と思われる
===================================
正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ=τ
(tanα)^2=3
(tanβ)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ
(tanγ)^2=τ^4
正20面体では
1 1 1 1 1
・ x y 3
3 7-4τ τ^4
・ ・
0
===================================
a=(1/τ^4)^1/2, b=(1/3τ^4)^1/2,c=(1/3)^1/2
{3,5}: a1=1,a2=1/√3,a3=a2・τ2で一致
===================================
φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11
φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=4φ+7
φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4
φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3
φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1
φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2
φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1
φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3
φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4
右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.
===================================
正600胞体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ=τ
(tanα)^2=3
(tanβ)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ
(tanγ)^2=τ^4
正600面体では
1 1 1 1 1
・ x y 2τ^-2
z w √5τ^-3
・ 2τ^-4
τ^-6
これは球面上の値と思われる・・・
===================================
a=(1/τ^4)^1/2, b=(1/3τ^4)^1/2,c=(1/3)^1/2
{3,5}: a1=1,a2=1/√3,a3=a2・τ2で一致
===================================