■シュレーフリの公式と直角三角錐(その104)

ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ=1

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ=√2

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ=φ

kaleidoscope, p102-103

(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)

(-1,1),(0,2),(1,3),(2,4)

(-1,2),(0,3),(1,4)

(-1,3),(0,4)

(-1,4)

a^2(tanγ)^2=1

c^2(tanα)^2=1

b^2=a^2c^2

a=AB,b=BC,c=CD

d=ADとすると

d^2=(tanβ)^2

===================================

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ=τ

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=5-2(5)^1/2=7-4τ

(tanγ)^2=τ^4

正20面体では

1   1   1   1   1

  ・   x    y  3

    ・   7-4τ τ^4

      ・   ・

        0

===================================

a=(1/τ^4)^1/2, b=(1/3τ^4)^1/2,c=(1/3)^1/2

{3,5}: a1=1,a2=1/√3,a3=a2・τ2で一致

===================================

  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

===================================