たとえば円周の長さは2πrであり、球の表面積は4πr^2であることから、うっかりすると超球の表面積を6πr^3あるいは8πr^3としてしまうかもしれない。計算なしに類推だけで正しい式2π^2r^3が導かれる可能性ははなはだ低い。

n次元単位球の表面積をSnとすると半径Rのｎ次元容積は

∫(0,R) Snr^(n-1)dr=SnR^n/n=VnR^n

より

Vn=π^n/2/Γ(n/2+1)

Sn=nVn

n=4のとき、Γ(3)=2Γ(2)=2Γ(1)=2より、S4=4V4=2π^2

正しい式2π^2r^3が導かれる。

S1/1=2,S2/2=π,S3/3=4π/3,S4/4=π^2/2,S5/5=8π^2/15

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