■ヘロンの公式(その46)

アレクサンドリアのヘロンは三角形の辺の長さがわかっていれば、どんな三角形の面積でも求められる公式を発見した。

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【1】ヘロンの公式

3辺の長さがa,b,cの三角形の面積をΔとすると,

(4Δ)^2=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4

  =(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)

ここで,2s=a+b+cとおくと

  Δ^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

となり,ヘロンの公式が得られます.

辺の長さが13,14,15の三角形の面積を求めてみると、半周長は21ですから

{21(21−13)(21−14)(21−15)}^1/2=84

三辺の長さと面積が整数値をとる三角形をヘロンの三角形と呼びます。

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3辺の長さが√a,√b,√cの三角形の面積を▲とすると,

(4▲)^2=2ab+2bc+2ca−a^2−b^2−c^2

=(a+b+c)^2-2a^2-2b^2-2c^2よりも・・・

=-{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}+a^2+b^2+c^2

=c^2-(a-b)^2+a^2-(b-c)^2+b^2-(c-a)^2

=-(a-b+c)(a-b-c)-(a+b-c)(-a+b-c)-(-a+b+c)(-a-b+c)よりも・・・

=-(a-b+c)(a-b-c)+(a+b-c)(a-b+c)-(-a+b+c)(-a-b+c)

=(a-b+c){-(a-b-c)+(a+b-c)}-(-a+b+c)(-a-b+c)

=(a-b+c)2b-(-a+b+c)(-a-b+c)・・・

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