■ディオファントス方程式の解の非存在(その23)

[補]2次形式f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2の判別式

  D=b^2−4ac

が0のとき、f(x,y)=e(gx+hy)^2と書ける。

平方数のとき、f(x,y)=e(gx+hy)(g'x+h'y)と書ける。

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行列[α,β]

  [γ,δ]、αδ-βγ=1に対して

g(x,y)=f(αx+βy、γx+δy )

となるとき、f(x,y)はg(x,y)と同値であるという

例えば、f(x,y)=x^2+y^2と

g(x,y)=(2x+3y)^2+(x+2y)^2=5x^2+16xy+13y^2

は同値であるから、

5x^2+16xy+13y^2=nが整数解をもつための必要十分条件は、nを割るすべての素数pでp≠3 (mod4)となることである

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