■ディオファントス方程式の解の非存在(その21)

[補]判別式の絶対値|D|が50以下の2次体Q(√d)をあげてみましょう.まず,

  d=2,3(mod4) → D=4d

  d=1(mod4)   → D=d

ですから,

  d=4n+1   → |d|≦50

  d=4n+2,3 → |d|≦12

 また,dは0,1以外の平方因数をもたない整数でなければなりませんから,4の倍数,9の倍数,16の倍数,25の倍数,36の倍数,49の倍数を除外すると,

  −1,±2,±3,±5,±6,±7,±10,

  ±11,±13,±14,±15,±17,±19,

  ±21,±22,±23,±26,±29,±30,

  ±31,±33,±34,±35,±37,±39,

  ±41,±43,±46,±47

 これらのなかで,

  d=4n+1   → |d|≦50

  d=4n+2,3 → |d|≦12

という条件を満たすのは

  −1,±2,±3,±5,±6,±7,±10,±11,

  13,17,21,29,33,37,41,

  −15,−19,−23,−31,−35,−39,−43,−47

になります.

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