■ディオファントス方程式の解の非存在(その14)

トポグラフのアルゴリズムは、

f(av)=a^2f(v)

f(u+v)+f(u-v)=2{f(u)+f(v)}すなわちc+d=2(a+b)

に基づいている。

前者は2次形式が整数kを表現するときkx^2の形をした整数すべてを表現することを意味している。

また後者は、初期値をf(1,0)=a,f(0,1)=b,f(1,1)=cとして、d以下を芋づる式に求めていけばよいことを意味しているのである。

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x^2-xy+y^2=7の整数解をすべて求めよ

f(1,0)=1,f(0,1)=1,-5,f(1,1)=1

からスタートするトポグラフを描く

7の値がある6か所は

±((1,-2),±(2,-1),±(3,1),±(3,2),±(2,3),±(1,3)

に対応している。

したがって、ディオファントス方程式x^2-xy+y^2=7の解は12個である。

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x^2-xy+y^2=2,5,6には解が存在しないこともわかる

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