■ディオファントス方程式の解の非存在(その13)

トポグラフのアルゴリズムは、

f(av)=a^2f(v)

f(u+v)+f(u-v)=2{f(u)+f(v)}すなわちc+d=2(a+b)

に基づいている。

前者は2次形式が整数kを表現するときkx^2の形をした整数すべてを表現することを意味している。

また後者は、初期値をf(1,0)=a,f(0,1)=b,f(1,1)=cとして、d以下を芋づる式に求めていけばよいことを意味しているのである。

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3x^2+6xy-5y^2=4

についてf(1,1)=4であることはすぐにわかるが、

3x^2+6xy-5y^2=7、すなわち

f(x,y)=7となる(x,y)をみつけることはできるだろうか?

f(1,0)=3,f(0,1)=-5,-5,f(1,1)=4

からスタートするトポグラフを描く

トポグラフに現れる数(に平方数をかけても)7、-100をとらないことがわかる。

3x^2+6xy-5y^2=7

3x^2+6xy-5y^2=-100

などは整数の範囲に解をもたないことがわかる。

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2x^2+xy+4y^2=31

f(1,0)=2,f(0,1)=4,-5,f(1,1)=7

からスタートするトポグラフを描く

2,4,5,7,10,14,16,19,20,25,28,32

2x^2+xy+4y^2=31

は整数の範囲に解をもたないことがわかる。

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