不定方程式ｘ^2＋５ｙ^2−７ｚ^2＝０の(0,0,0)以外の整数解は存在するだろうか？

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mod５で考える

もし整数解があればｘ^2＝２ｚ^2　　（mod５）

となる

a=F5={0,1,2,3,4}のとき、a^2=0,1,4,4,1 (mod５)

2a^2=0,2,3,3,2

aが５で割れないとき、前者には1,4しか現れず、後者には2,3しか現れない→整数解は存在しない。

aが５で割れるとき、ｚも5で割れる→(0,0,0) mod5→非自明な解は存在しない

一般に、a,b,cをどの２つも互いに素な整数とするとき、

aｘ^2＋bｙ^2+cｚ^2＝０ (modp)

で非自明な解をもてばmod ｐ^nでも非自明な解をもつ。

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【１】ハッセ・ミンコフスキーの局所大域原理

一般に、a,b,cを有理数とする

aｘ^2＋bｙ^2+cｚ^2＝０

が非自明な有理数解をもつための必要十分条件はすべての素数mod ｐでの非自明な解をもつことである。

これをハッセ・ミンコフスキーの局所大域原理が成り立つという。ｎ変数2次形式への一般化も成立する

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