[Q]ディオファントス方程式x^6+y^12=700003に解が存在しないことを示せ。

[A]方程式に整数解があれば合同式においても解となる（ハッセ・ミンコフスキーの定理?）

mod7で考えると,

x^6+y^12=3　(mod7)

フェルマーの小定理a^p-1=1　(modp)より、

x^6=1 (x≠0、mod7)

x^6=0 (x＝0、mod7)

y^12=(y^6)^2=1 (y≠0、mod7)

y^12=(y^6)^2=0 (y＝0、mod7)

より

x^6+y^12=0,1,2　(mod7)

したがって、x^6+y^12=3　(mod7)には解がない。→もともとの方程式にも解がない。

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