■三角関数の和と積(その44)

 k→∞のとき,

  sinx/x=Πcosx/2^k

  sinx/x=Π(1+2cosx/3^k)/3

が成り立つが,後者に関しては,

  sinx/x

=Π(1−4/3sin^2x/3^k)

=Π(4/3cos^2x/3^k−1/3)

のままでも成り立つし,その方が因数分解の必要がなく,一般化する際に便利である.

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  sinx=3sinx/3−4sin^3x/3

      =3sinx/3(1−4/3sin^2x/3)

      =3sinx/3(4/3cos^2x/3−1/3)

 したがって,

sinx/x=Π(4cos^2x/4^k−1)/3

  sinx=8sinx/4cos^3x/4−4sinx/4cosx/4

=4sinx/4cosx/4{2cos^2x/4−1}

 したがって,

sinx/x=Πcosx/4^k(2cos^2x/4^k−1)

  sinx=16sin^5x/5−20sin^3x/5+5sinx/5

=sinx/5(16sin^4x/5−20sin^2x/5+5)

=sinx/5(16cos^4x/5−12cos^2x/5+1)

=5sinx/5(16cos^4x/5−12cos^2x/5+1)/5

 したがって,

sinx/x=Π(16cos^4x/5^k−12cos^2x/5^k+1)/5

  sinx=32sinx/6cos^5x/6−32sinx/6cos^3x/6+6sinx/6cosx/6

=sinx/6cosx/6(32cos^4x/6−32cos^2x/6+6)

=6sinx/6cosx/6(32cos^4x/6−32cos^2x/6+6)/6

 したがって,

sinx/x=Πcosx/6^k(32cos^4x/6^k−32cos^2x/6^k+6)/6

  sinx=−64sin^7x/7+112sin^5x/7−56sin^3x/7+7sinx/7

=−sinx/7(64sin^6x/7−112sin^4x/7+56sin^2x/7−7)

=sinx/7(64cos^6x/7−80cos^4x/7+24cos^2x/7−1)

=7sinx/7(64cos^6x/7−80cos^4x/7+24cos^2x/7−1)/7

 したがって,

sinx/x=Π(64cos^6x/7^k−80cos^4x/7^k+24cos^2x/7^k−1)/7

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