ｋ→∞のとき，

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Πｃｏｓｘ／２^k

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（１＋２ｃｏｓｘ／３^k）／３

が成り立つ．

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　　ｓｉｎｘ＝３ｓｉｎｘ／３−４ｓｉｎ^3ｘ／３

　　　　　　＝３ｓｉｎｘ／３（１−４／３ｓｉｎ^2ｘ／３）

　　　　　　＝３ｓｉｎｘ／３（４／３ｃｏｓ^2ｘ／３−１／３）

　　　　　　＝ｓｉｎｘ／３（４ｃｏｓ^2ｘ／３−１）

　　　　　　＝ｓｉｎｘ／３（２ｃｏｓｘ／３＋１）（２ｃｏｓｘ／３−１）

＝ｓｉｎｘ／３・（２ｃｏｓｘ／３＋１）・（２ｃｏｓｘ／３−１）

ｓｉｎｘ／３＝ｓｉｎｘ／３^2・（２ｃｏｓｘ／３^2＋１）・（２ｃｏｓｘ／３^2−１）

　したがって，

ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ／３^2・（２ｃｏｓｘ／３＋１）・（２ｃｏｓｘ／３^2＋１）・（２ｃｏｓｘ／３−１）・（２ｃｏｓｘ／３^2−１）

＝３^2ｓｉｎｘ／３^2・（２ｃｏｓｘ／３＋１）／３・（２ｃｏｓｘ／３^2＋１）／３・（２ｃｏｓｘ／３−１）・（２ｃｏｓｘ／３^2−１）

＝・・・・・

＝３^kｓｉｎｘ／３^kΠ（１＋２ｃｏｓｘ／３^k）／３Π（−１＋２ｃｏｓｘ／３^k）

　ｋ→∞のとき，ｌｉｍｓｉｎｘ／３^k／（ｘ／３^k）

＝１／ｘ・ｌｉｍ３^kｓｉｎｘ／３^k＝１

　　ｌｉｍ３^kｓｉｎｘ／３^k＝ｘ

また，｜−１＋２ｃｏｓｘ／３^k｜≦１より

　　ｌｉｍΠ（−１＋２ｃｏｓｘ／３^k）＝１

　以上より，

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Π（１＋２ｃｏｓｘ／３^k）／３

が示される．

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