■三角関数の和と積(その29)

 ガンマ関数のn重公式

  ΠΓ(x+(k-1)/n)=n^(1/2ーnx)(2π)^(n-1)/2Γ(nx)

と三角関数の公式を比較してみよう.

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【1】ガンマ関数の乗法公式

[1]倍数公式

  Γ(x/2)Γ((x+1)/2)=π^(1/2)Γ(x)/2^(x-1)

  Γ(x)Γ(x+1/2)=(2π)^(1/2)Γ(2x)/2^(2x-1/2)

[2]三重公式

  Γ(x)Γ(x+1/3)Γ(x+2/3)=2πΓ(3x)/3^(3x-1/2)

[3]n重公式

  ΠΓ(x+(k-1)/n)=n^(1/2ーnx)(2π)^(n-1)/2Γ(nx)

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【2】正弦・余弦の積公式

 正弦・余弦の和公式はフーリエ級数との関連で研究された歴史がある.一方,和公式ほどよく知られていないが,正弦・余弦の積公式としていろいろな公式が登場してくる.ここでは証明は省いたが,複素数を使って証明するのが一番の近道であろう.

  Πsinkπ/n=sinπ/n・・・sin(n−1)π/n

          =n/2^(n-1)

  Πsin(θ+kπ/n)

 =sin(θ+π/n)・・・sin(θ+(n−1)π/n)

 =sinnθ/2^(n-1)sinθ

 ここで,θ→θ−π/2nと置き換えれば

  Πsin(θ+(2k−1)π/n)=cosnθ/2^(n-1)

θ=0とおけば

  Πsin((2k−1)π/n)=1/2^(n-1)

また,θ=π/2とおけば

  Πcoskπ/n=sin(nπ/2)/2^(n-1)

などを導き出すことができる.

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