■三角関数の和と積(その20)

 岩波「数学公式」の正弦・余弦の和公式に

[1]Σsin(2k^2π/n)=(√n)/2・{1+cosnπ/2−sinnπ/2}

[2]Σcos(2k^2π/n)=(√n)/2・{1+cosnπ/2+sinnπ/2}−1

がある.どちらもガウス和に関係しているものと思われる.k=1〜n-1

 作図可能な正奇数角形は三角形を除きすべてこのタイプである。

(b)n=4m+3の場合

[1]Σsin(2k^2π/n)=(√n)

[2]Σcos(2k^2π/n)=−1

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n=7のとき、

cos(2π/7)+cos(8π/7)+cos(18π/7)+cos(32π/7)+cos(50π/7)+cos(72π/7)=-1

cos(2π/7)-cos(π/7)+cos(4π/7)+cos(4π/7)-cos(π/7)+cos(2π/7)=-1

2cos(2π/7)-2cos(π/7)+2cos(4π/7)=-1

sin(2π/7)+sin(8π/7)+sin(16π/7)+sin(32π/7)+sin(50π/7)+sin(72π/7)=√7

sin(2π/7)-sin(π/7)+sin(4π/7)+sin(4π/7)-sin(π/7)+sin(2π/7)=√7 (OK)

2sin(2π/7)-2sin(π/7)+2sin(4π/7)=√7 (OK)

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