■三角関数の和と積(その7)

[Q] sin10°・sin50°・sin70°=?

[A} sin10°・sin50°・sin70°・2cos10°・2cos50°・2cos70°

=sin20°・sin100°・sin140°

=cos70°・cos10°・cos50°

したがって、

sin10°・sin50°・sin70°=1/8

このほかに

=sin5π/14・sin3π/14・sinπ/14=1/8も見つかった。検算してみたい。

===================================

[x<45<y<z<90]とする。

cosx・cosy・coszをかけて→sin2x・sin2y・sin2z=cos(90-2x)・cos(2y-90)・cos(2z-90)

90-2x=z,90-2x=[0,90]

2y-90=x,2y-90=[0,90]

2z-90=y,2z-90=[0,90]

sin10°・sin50°・sin70°=1/8→調べられない

===================================

[45cosx・cosy・coszをかけて→sin2x・sin2y・sin2z=cos(2x-90)・cos(2y-90)・cos(2z-90)

2x-90=x,2x-90=[0,90]

2y-90=y,2y-90=[0,90]

2z-90=z,2z-90=[0,90]:NG

===================================

[x<45<y<z<90]とする。

cosx・cosy・coszをかけて→sin2x・sin2y・sin2z=cos(90-2x)・cos(2y-90)・cos(2z-90)

90-2x=x,90-2x=[0,90]

2y-90=y,2y-90=[0,90]

2z-90=z,2z-90=[0,90]:x=π/6、y=π/2、z=π/2→1/2  (NG)

90-2x=y,90-2x=[0,90]

2y-90=x,2y-90=[0,90]

2z-90=z,2z-90=[0,90]:x=π/10、y=3π/10、z=π/2

→(√5ー1)/2・(√5+1)/2・1→1   (NG)

===================================

ここで、解が見つかるはずである。

[x<y<45<z<90]とする。

cosx・cosy・coszをかけて→sin2x・sin2y・sin2z=cos(90-2x)・cos(9-2y)・cos(2z-90)

90-2x=y,90-2x=[0,90]

90-2y=x,90-2y=[0,90]

2z-90=z,2z-90=[0,90]:x=π/6,y=π/6,z=π/2→1/4  (NG)

90-2x=z,90-2x=[0,90]

90-2y=y,90-2y=[0,90]

2z-90=x,2z-90=[0,90]:→x=π/10,y=π/6,z=3π/10

→(√5ー1)/2・(√5+1)/2・1/2→1/2   (NG)

90-2x=z,90-2x=[0,90]

90-2y=x,90-2y=[0,90]

2z-90=y,2z-90=[0,90]:→x=π/14,y=3π/14,z=5π/14 →調べられない

===================================

[x<y<z<45]とする。

cosx・cosy・coszをかけて→sin2x・sin2y・sin2z=cos(90-2x)・cos(9-2y)・cos(90-2z)

90-2x=z,90-2x=[0,90]

90-2y=y,90-2y=[0,90]

90-2z=x,90-2z0=[0,90]:x=y=z=30 →1/8  (OK)

===================================