■三角関数の和と積(その4)

コラム「正五角形と正十七角形(その4)」では

[Q]cosπ/7−cos2π/7+cos3π/7=1/2を示せ.

を扱った。

−cos2π/7=cos5π/7であるから,この問題は

  cosπ/7+cos3π/7+cos5π/7=1/2

と同値である.

 実は

  cosπ/7+cos3π/7+cos5π/7=4/8=1/2

  cosπ/7・cos3π/7・cos5π/7=−1/8

が示される.

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これも右辺は1/8

cosπ/7・cos2π/7・cos3π/7=1/8

になるが、(その22)(その23)ではなぜ見つけられなかったのだろうか?

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[Q] sin10°・sin50°・sin70°=?

[A} sin10°・sin50°・sin70°・2cos10°・2cos50°・2cos70°

=sin20°・sin100°・sin140°

=cos70°・cos10°・cos50°

したがって、

sin10°・sin50°・sin70°=1/8

cos80°・cos40°・cos20°=1/8も解になるはずである。

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