■φ形式の算法(その33)

  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

  φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7

  φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

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一般に

  φ^n=Fnφ+Fn-1

と書くことができる。

もし、φとφ^2の組み合わせに分割するならば

  φ^3=1φ+1φ^2

  φ^4=1φ+2φ^2

  φ^5=2φ+3φ^2

  φ^6=3φ+5φ^2

  φ^n=Fn-2φ+Fn-1φ^2

と書くことができる。

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nが奇数のとき

2φ^n=Fn√5+(Fn-1+Fn+1)

2φ^-n=Fn√5−(Fn-1+Fn+1)

nが偶数のとき

2φ^n=(Fn-1+Fn+1)+Fn√5

2φ^-n=(Fn-1+Fn+1)−Fn√5

  2φ^2=3+√5

  2φ^3=4+2√5→φ^3=2+√5

  2φ^4=7+3√5

  2φ^5=11+5√5

  2φ^6=18+8√5→φ^6=9+4√5

  2φ^-2=3-√5

  2φ^-3=-4+2√5→φ^-3=-2+√5

  2φ^-4=7-3√5

  2φ^-5=-11+5√5

  2φ^-6=18-8√5→φ^-6=9-4√5

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