■学会にて(京大数理解析研,その88)

 立方体[0,1]^3の原点から最も遠い点は(1,1,1)である。

内部空間の直径は√3

表面空間の直径は√5

沿辺空間の直径は3

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立方体を2つ重ねた直方体(1x1x2)の場合

内部空間の直径は(0,0,0)-(1,1,2)で√6

沿辺空間の直径は4であるが

表面空間の直径は(1,1,2)に対するものではなく(3/4,3/4,2)が最も遠い点であるという。

直観に反するこの結果は、小谷(善行)のアリのパラドックスと呼ばれている

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立方体をn個重ねた直方体(1x1xn)の場合のクヌースの問題

[Q]直方体の表面上で最も遠い2点はどこか

[A](x,x,0)-(1-x,1-x,n)とすると

(1-2x)^2+(n+1)^2=(2-2x)^2+(n+2x)^2

2x^2+(2n-2)+(1-n)=0

x={-(n-1)+√(n^2-1)})/2

n→∞のとき、x→1/2、すなわち、上面の中央に近づく

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