■学会にて(京大数理解析研,その86)

 立方体[0,1]^3の原点から最も遠い点は(1,1,1)である。

内部空間の直径は√3

表面空間の直径は√5

沿辺空間の直径は3

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立方体を2つ重ねた直方体(1x1x2)の場合

内部空間の直径は(0,0,0)-(1,1,2)で√6

沿辺空間の直径は4であるが

表面空間の直径は(1,1,2)に対するものではなく(3/4,3/4,2)が最も遠い点であるという。

直観に反するこの結果は、小谷(善行)のアリのパラドックスと呼ばれている

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立方体をn個重ねた直方体(1x1xn)の場合

内部空間の直径は(0,0,0)-(1,1,n)で√(n^2+2)

沿辺空間の直径は(n+2)であるが

表面空間の直径は(1,1,n)に対するものではなく(x,x,n)が最も遠い点であるという。

x^2+(n+x)^2=(1+x)^2+(n+1-x)^2

2nx=-2nx+2(n+1)

4nx=2(n+1)

x=(n+1)/2n

n=2のときx=3/4

n→∞のとき、x→1/2、すなわち、上面の中央に近づく

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