■学会にて(京大数理解析研,その74)

 最も素朴な循環連分数は

  √m=[q0;2q0,2q0,2q0,・・・]

で表されます.このとき,

  P=2q0^2+1,Q=2q0

より,mは

  (2q0^2+1)^2−m・4q0^2=±1

を満たす整数となるのですが,結局,このようなmは

  m=q0^2+1=2,5,10,・・・

となることが導き出されます.

  √2=[1;2,2,2,・・・]

  √5=[2;4,4,4,・・・]

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【1】高貴な数

 それに対して,高貴な数とは黄金比のようにその連分数展開が無限に多くの1で終わる数

  [a0:a1,・・・,an,1,1,1,・・・]

として定義される.

 たとえば,

  1/τ^2=1/(1+τ)=[0:2,1,1,1,・・・]

であり,黄金比

  τ=[1:1,1,1,1,・・・]

は無理数の中の最も無理な数であり,高貴な数の中で最も高貴なものである.

 なお,w=[0:a1,a2,・・・]とすれば

  1−w=[0:1,a1−1,a2,・・・]

wが高貴であるならば1−wもそうである.また,もし,a1−1=0ならば,1−(1−w)=wより

  [・・・,am,0,am+2,・・・]=[・・・,am+am+2,・・・]

  1/(1+τ)=[0:2,1,1,1,・・・]

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  √2=[1:2,2,2,2,・・・]

を得るのに,

  Ak=2Ak-1+Ak-2,A0=1,A1=1

  Bk=2Bk-1+Bk-2,B0=0,B1=1

を用いて  

  Ak=1,1,3,7,17,41,99,・・・

  Bk=0,1,2,5,12,29,70,・・・

を得る.Ak,Bkはx^2−2y^2=+1とx^2−2y^2=−1の解と交互に対応する.そして,Ak/Bkは上下から交互に√2に近づく.

 ν=[a0:a1,・・・,an,1,1,1,・・・]

によって定義される高貴な数νは,

  ν=(τAn+An-1)/(τBn+Bn-1)

のように表現できる.ここでAk,Bkは[a0:a1,・・・,an]のk番目の近似分数の分子と分母である.

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