最も素朴な循環連分数は

　　√ｍ=［ｑ0；２ｑ0，２ｑ0，２ｑ0，・・・］

で表されます．このとき，

　　Ｐ＝２ｑ0^2＋１，Ｑ＝２ｑ0

より，ｍは

　　（２ｑ0^2＋１）^2−ｍ・４ｑ0^2＝±１

を満たす整数となるのですが，結局，このようなｍは

　　ｍ＝ｑ0^2＋１＝２，５，１０，・・・

となることが導き出されます．

　　√２＝［１；２，２，２，・・・］

　　√５＝［２；４，４，４，・・・］

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【１】高貴な数

　それに対して，高貴な数とは黄金比のようにその連分数展開が無限に多くの１で終わる数

　　［ａ0：ａ1，・・・，ａn，１，１，１，・・・］

として定義される．

　たとえば，

　　１／τ^2＝１／（１＋τ）＝［０：２，１，１，１，・・・］

であり，黄金比

　　τ＝［１：１，１，１，１，・・・］

は無理数の中の最も無理な数であり，高貴な数の中で最も高貴なものである．

　なお，ｗ＝［０：ａ1，ａ2，・・・］とすれば

　　１−ｗ＝［０：１，ａ1−１，ａ2，・・・］

ｗが高貴であるならば１−ｗもそうである．また，もし，ａ1−１＝０ならば，１−（１−ｗ）＝ｗより

　　［・・・，ａm，０，ａm+2，・・・］＝［・・・，ａm＋ａm+2，・・・］

　　１／（１＋τ）＝［０：２，１，１，１，・・・］

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　√２＝［１：２，２，２，２，・・・］

を得るのに，

　　Ａk＝２Ａk-1＋Ａk-2，Ａ0＝１，Ａ1＝１

　　Ｂk＝２Ｂk-1＋Ｂk-2，Ｂ0＝０，Ｂ1＝１

を用いて　　

　　Ａk＝１，１，３，７，１７，４１，９９，・・・

　　Ｂk＝０，１，２，５，１２，２９，７０，・・・

を得る．Ａk，Ｂkはｘ^2−２ｙ^2＝＋１とｘ^2−２ｙ^2＝−１の解と交互に対応する．そして，Ａk／Ｂkは上下から交互に√２に近づく．

　ν＝［ａ0：ａ1，・・・，ａn，１，１，１，・・・］

によって定義される高貴な数νは，

　　ν＝（τＡn＋Ａn-1）／（τＢn＋Ｂn-1）

のように表現できる．ここでＡk，Ｂkは［ａ0：ａ1，・・・，ａn］のｋ番目の近似分数の分子と分母である．

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